Números Binarios

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA

CARACTERISTICAS:

En matemáticas e informática, se representan utilizando solamente las cifras
cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

TRANSFORMACIONES

Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, éste será el número binario que buscamos.

Ejemplo

Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

 

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1

 

-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011

Ejemplo

Transformar el número decimal 100 en binario.

 

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

Ejemplo

100|0

50|0

25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2

12|0

6|0

3|1

1|1 --> (100)₁₀ = (1100100)₂

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 2⁸=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151 - 128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

Ejemplo

2⁰= 1|1

2¹= 2|1

2²= 4|1

2³= 8|0

2⁴= 16|1

2⁵= 32|0

2⁶= 64|0

2⁷= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)₁₀ = (10010111)₂

Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
   
2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que
   

 

Ejemplo

0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).

Proceso:

0,3125 · 2 = 0,625 => 0

0,625 · 2 = 1,25 => 1

0,25 · 2 = 0,5 => 0

0,5 · 2 = 1 => 1

En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)

Ejemplo

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).

Proceso:

0,1 · 2 = 0,2 ==> 0

0,2 · 2 = 0,4 ==> 0

0,4 · 2 = 0,8 ==> 0

0,8 · 2 = 1,6 ==> 1

0,6 · 2 = 1,2 ==> 1

0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente

0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 <-

0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 <-

0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 <- ...

En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)

Ejemplo

5.5 = 5,5

5,5 (decimal) => 101,1 (binario).

Proceso:

5 => 101

0,5 · 2 = 1 => 1

En orden: 1 (un sólo digito fraccionario) -> 101,1 (binario)

Ejemplo

6,83 (decimal) => 110,110101000111 (binario).

Proceso:

6 => 110

0,83 · 2 = 1,66 => 1

0,66 · 2 = 1,32 => 1

0,32 · 2 = 0,64 => 0

0,64 · 2 = 1,28 => 1

0,28 · 2 = 0,56 => 0

0,56 · 2 = 1,12 => 1

0,12 · 2 = 0,24 => 0

0,24 · 2 = 0,48 => 0

0,48 · 2 = 0,96 => 0

0,96 · 2 = 1,92 => 1

0,92 · 2 = 1,84 => 1

0,84 · 2 = 1,68 => 1

En orden: 110101000111 (binario)

Parte entera: 110 (binario)

Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 2⁰).
   
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
   

Ejemplos:

• (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)
  

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario